GRAFICA DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES

Definición:

Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo

La ecuación de una cuádrica se puede escribir en forma matricial como

donde Denotaremos por la matriz que define la cuádrica y por A₀₀ la matriz adjunta del elemento a₀₀ en A.

Clasificación:

Las cuádricas se clasifican de acuerdo a su signaturas, es decir, el módulo de la diferencia entre el número de autovalores positivos y negativos de A₀₀ .
Sin embargo, para calcular la signatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz. Ello es debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a A₀₀ que permiten determinar s sin necesidad de calcular explícitamente sus autovalores.
Veámoslo:
los autovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las soluciones de la ecuación . Ahora bien,

con

Cuando los tres autovalores de A₀₀   son no nulos , es decir det A₀₀¹ 0, si escribimos la sucesión K, J, I, 1 y denotamos P y V al número de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = s. I, J, K se conocen como invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene:

Si s = 3 :

det A > 0 ---> elipsoide real
det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican la ecuación)
det A = 0 ---> cono imaginario

Si s = 1 :

det A > 0 ---> hiperboloide hiperbólico (de una hoja)
det A < 0 ---> hiperboloide elíptico (de dos hojas)
det A = 0 ---> cono real
Si alguno de los autovalores es nulo (det A₀₀ = 0) pero el determinante de A es distinto de cero, entonces;

Si J > 0 ---> paraboloide elíptico
Si J < 0 ---> paraboloide hiperbólico
Si det A = det A₀₀ = 0 hay que introducir nuevos invariantes para completar la clasificación

donde A_iirepresenta la matriz adjunta del elemento a_ii en A para i=1,2,3.
Con estos nuevos invariantes se tiene

J > 0

K' ¹ 0 y signo K' = signo I   ---> cilindro elíptico imaginario
K' ¹ 0 y signo K' ¹ signo I   ---> cilindro elíptico real
K' = 0 ---> par de planos imaginarios secantes

J < 0

K' ¹ 0 ----> cilindro hiperbólico
K' = 0 ----> par de planos reales secantes

J = 0 y I ¹ 0

K' ¹ 0   ----> cilindro parabólico
K' = 0 y J' > 0   -- --> par de planos imaginarios paralelos distintos
K' = 0 y J' < 0   -----> par de planos reales paralelos distintos
K' = 0 y J' = 0    ----> par de planos coincidentes
En la tabla siguiente se resume la clasificación anterior:

Clasificación de las Cuádricas
det A₀₀ ¹0
s = 3
det A > 0       Elipsoide Real
det A < 0      Elipsoide Imaginario
det A = 0       Cono Imaginario
s = 1
det A > 0       Hiperboloide Hiperbólico
det A < 0      Hiperboloide Elíptico
det A = 0       Cono Real
J > 0      Paraboloide Elíptico
J < 0      Paraboloide Hiperbólico
K'¹ 0 , signo K' = signo I Cilindro elíptico imaginario
K' ¹ 0 , signo K' ¹ signo I     Cilindro elíptico real
K' = 0         Par de planos imaginarios secantes
K' ¹ 0    Cilindro hiperbólico
K' = 0      Par de planos reales secantes
J = 0 I ¹ 0
K' ¹ 0    Cilindro Parabólico
K' = 0, J' > 0   Par de planos imaginarios paralelos distintos
K' = 0, J' < 0   Par de planos reales paralelos distintos
K' = 0, J' = 0   Par de planos coincidentes

Centro:

Plano polar: Dado un punto P = (x₀,y₀,z₀) Î IR³ se define el plano polar de P respecto a cuádrica de matriz A como el plano de ecuación

Si P pertenece a la cuádrica, entonces el plano polar de P coincide con el plano tangente a dicha superficie en P.
No todos los puntos poseen plano polar. La condición para que un punto (x,y,z) no lo tenga es que verifique el sistema de ecuaciones

que geométricamente se interpreta como la intersección de tres planos.
Si   det A₀₀¹ 0 entonces el sistema es compatible y tiene solución única. El punto solución se conoce como CENTROde la cuádrica. Si det A₀₀= 0, el sistema posee una recta de soluciones cuando det A=0 y los rangos de ambas matrices son iguales a 2, entonces se dice que la cuádrica tiene una recta de centros.
Cuando el rango de ambas matrices es igual a 1 hay un plano de soluciones: la cuádrica tiene un plano de centros.
Finalmente el sistema no tiene solución si los rangos difieren o det A ¹ 0; en tal caso la cuádrica carece de centro, recta o plano de centros.
Así se tiene:
1 Cuádricas con centro: elipsoides, hiperboloides y conos.
2 Cuádricas con eje de centros:   cilindros elípticos e hiperbólicos y pares de planos secantes.
3 Cuádricas con plano de centros: pares de planos paralelos o coincidentes.
4 El resto de las cuádricas no posee centro (lo tiene en el infinito): paraboloides y cilindros parabólicos.
El centro es un punto de simetría de la cuádrica, el eje y el plano de centros son a su vez eje y plano de simetría.
Ejemplo:
Consideremos la cuádrica de ecuación

Esta cuádrica es un elipsoide (véase la tabla de clasificación). El plano polar por el punto (2,1,3) es el plano de ecuación

que corta a la superficie (nótese que (2,1,3) es exterior a la superficie (véase la figura).

El centro de la cuádrica es la solución del sistema

que en este caso resulta ser el origen de coordenadas.
En las figuras siguientes vemos los planos polares en los puntos (0,1,1/2) y (0,2,0):

En el primer caso el punto es interior a la superficie y el plano polar es exterior a la misma, mientras
que en el segundo caso el punto está sobre el elipsoide y el plano polar coincide con el plano tangente
a la superficie en dicho punto.

Ecuación reducida:

La ecuación reducida de una cuádrica es aquella ecuación simplificada que representa la superficie con su centro (si lo tiene) situado en el origen de coordenadas mientras que los ejes coordenados tienen relaciones particulares con la cuádrica.
Partiendo de la ecuación general de una cuádrica se puede llegar a su ecuación reducida aplicandole consecutivamente un giro y una translación de forma adecuada aunque en algunos casos especiales es necesario aplicar después de esta última un giro plano.
A continuación recogemos los tipos de ecuaciones reducidas y que cuádricas representan así como la forma de obtenerlas a partir de los invariantes.
Denotemos por , y las raíces de entonces:

Elipsoides, hiperboloides y conos:

donde

elipsoide hiperboloide hiperbólico

cono hiperboloide elíptico

Paraboloides:

donde

paraboloide elíptico
paraboloide hiperbólico

Cilindro elíptico e hiperbólico y pares de planos secantes:

          donde

     cilindro elíptico                    cilindro hiperbólico

       par de planos secantes

Cilindro parabólico:

donde

cilindro parabólico

Pares de planos paralelos:

donde

par de planos paralelos

Cuádricas no degeneradas:

Elipsoide Hiperboloide hiperbólico Hiperboloide elíptico Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico

Elipsoide

Ecuación reducida:

La cuádrica tiene signatura 3 y los autovalores de la matriz A₀₀son los tres positivos.
Los cortes del elipsoide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas de tipo elipse
(en lo siguiente se supone que el elipsoide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la ecuación reducida
que se da arriba):

por planos z = a
Si a<c la curva de corte es una elipse de ecuación
donde

Si a>c no hay intersección real, mientras que si a=c la intersección se reduce a un punto siendo el plano tangente a la superficie elíptica.
Para los planos de la forma y =a o x=a el resultado es análogo al anterior intercambiando el papel de las variables de forma adecuada.

(corte por un plano y = a con 0<a<b)

(corte por un plano x = a con 0<a<a)

Hiperboloide hiperbólico

Ecuación reducida:

La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A₀₀son dos positivos y uno negativo.
Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas:
(en lo siguiente se supone que el hiperboloide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la pimera de
las ecuaciones reducidas dadas arriba):

por planos z = a
La curva de corte es una elipse de ecuación
donde

                                               ( a > 0 )

                                                ( a = 0, elipse de garganta )

por planos x=a .

El corte es la hipérbola de ecuación
donde

        ( a = 0 )
( a > 0 )

por planos y=a

El corte es una hipérbola como la del caso anterior donde los papeles de x e y se han intercambiado
El hiperboloide hiperbólico puede ser visto también como una superficie de revolución engendrada al girar una hiperbola alrededor del eje
de la cuádrica ( en el caso de la ecuación reducida que estamos utilizando, el eje z) describiendo una elipse.
Además el hiperboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada puesto que contiene a las dos familias de rectas. Veamoslo. La ecuación del hiperboloide se puede escribir como

Entonces cualquier punto que satisface la ecuación del hiperboloide satisface el siguiente conjunto de ecuaciones para algun valor del parametro.

Cada una de las ecuaciones anteriores representa un plano luego finalmente tenemos un par de rectas contenidas en el hiperboloide.

Hiperboloide elíptico

Ecuación reducida:

                                   En las figuras anteriores   a=b=c

    La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A₀₀son dos negativos y uno positivo.
    Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas:
    (El desarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las ecuaciones reducidas)

por planos z = a
la intersección es una hipérbola de ecuación

donde

por planos y =a el resultado es análogo al anterior intercambiando los papeles de y y z
por planos x=a
si |a |>a entonces la curva intersección resulta ser una elipse de ecuación

donde

( los planos: x=a>a y x=-a< -a)

si |a |<a no hay intersección real mientras que si |a|=a entonces la intersección se reduce a un punto y el plano en cuestión es tangente a la superficie.

( a = 0 )
A continuación incluimos otros dibujos en los cuales el hiperboloide tiene la segunda ecuación reducida y los parámetros a,b y c son distintos

( corte por plano z = a > c )

( corte por plano y = a >0 )

( corte por plano x = a >0 )

Paraboloide elíptico

Ecuación reducida:

Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas
(en lo siguiente se supone que el parabolide tiene la ecuación reducida que se da arriba):

por planos z = a
si a>0 entonces la curva intersección resulta ser una elipse de semiejes a y b y ecuación

( a > 0 )
si a<0 entonces no existe intersección mientras que para a=0 la intersección se reduce a un punto siendo la superficie cuádrica tangente al plano en dicho punto.

( a < 0 )

por planos y =a o por planos x=a las curvas intersección son las parábolas

(corte por plano y = a = 0 )

(corte por plano x = a >0 )

Paraboloide hiperbólico

Ecuación reducida:

En lo que sigue utilizaremos la primera de las ecuaciones reducidas.
El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por las familias de rectas:

Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas:

por planos z = a
si a¹0 entonces la curva intersección es una hipérbola de ecuación

(a > 0)

(a < 0)

si a=0 entonces la intersección es un par de rectas que se cortan en el origen de coordenadas

(a = 0)

por planos y = a o por planos x = a las curvas intersección son las parábolas

y

respectivamente.

( y = a = 0)

(x = a = 0)
A continuación presentamos figuras donde se ha cortado el paraboloide hiperbólico por plano oblicuos no paralelos a los coordenados

PRINCIPAL

Click aqui para entrar en Todotarjetas.com
Click aqui para entrar en Todotarjetas.com